Ejercicios de ampliación sobre distribuciones discretas y continuas

Ejercicio combinando distribución binomial y normal

Completa los huecos.
Ejercicio: Las notas de cierta asignatura se distribuyen normal con media 6.5 puntos y desviación típica 2.3. Calcula la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 20 estudiantes de dicha asignatura haya al menos 15 que hayan aprobado.

Solución razonada (intenta resolverlo por tu cuenta primero y luego comprueba el resultado):

Sea Y=número de estudiantes que han aprobado de un total de .

Entonces nos piden que calculemos P(Y≥).

Para poder calcular esta probabilidad necesitamos saber antes cómo se distribuye la variable Y.

Atendiendo a los datos del problema, la variable Y se distribuye , B(n,p), con n=20 y p=p(éxito)=P(aprobar).

Por lo que necesitamos calcular la probabilidad de aprobar, que será la probabilidad de sacar al menos un en la nota. Para calcularla, definimos la variable:

X=nota de la asignatura.

Por el enunciado sabemos que X se distribuye con media μ= y desviación típica σ=. Es decir X~N(,). Por tanto obtenemos con la ayuda del SPSS

P(aprobar)=P(X≥5)=1-P(X<)=1-CDF.NORMAL(,,2.3)=0.7429. (Nótese que como X es P(X<5)=P(X≤))

Resumiendo:

Sea Y=número de estudiantes que han de un total de .

Y~B(,) y nos piden que calculemos P(Y≥).

Ayudándonos del SPSS obtenemos:

P(Y≥15)=1-P(Y<)=1-P(Y≤)=1-CDF.(,,)=0.5883 (Nótese que como Y es P(Y<15)=P(Y≤)).