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Teorema de la probabilidad total

Echa un vistazo al tema 4 on-line de la asignatura en las sesiones del Campus Virtual, si quieres practicar el teorema de la probabilidad total busca en esta página.

Temario

"Estudia a fondo estos contenidos"

Teorema de la probabilidad total

Sean A1, A2, ... , An sucesos incompatibles dos a dos (A i ∩ A j=ø, para todo i≠j), cuya unión es el espacio muestral (A1∪A2∪...∪An= Ω) y B es otro suceso, entonces:

Teorema de la probabilidad total

Ejercicios resueltos

"Pon en práctica la teoría"

Ejercicio 1

Se dispone de tres cajas con móviles. La primera contiene 10 móviles, de los cuales hay cuatro rotos; en la segunda hay seis móviles, estando uno de ellos roto, y en la tercera caja hay tres móviles rotos de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un móvil al azar de una de las cajas, esté roto?

Definimos los sucesos A1= elegir caja 1, A2=elegir caja 2, A3=elegir caja 3.

Entonces P(A1)=P( A2)=P(A3)=1/3 y los sucesos cumplen las hipótesis del teorema.

Definimos el suceso B=móvil roto y aplicando el teorema obtenemos:

P(móvil roto)=P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=(4/10)·(1/3)+(1/6)·(1/3)+(3/8)·(1/3)=113/360=0.3139.


cajas con móviles


Ejercicio 2

En una titulación el alumnado puede optar por cursar las asignaturas optativas A y B. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia la asignatura A y el resto la B. El 30% de los que estudian la asignatura A son chicos y de los que estudian la asignatura B son chicos el 40%. Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Definimos los sucesos A=estudiar asignatura A y B=estudiar asignatura B.

Entonces P(A)=0.9 y P(B)=0.1. Claramente los sucesos A y B son complentarios (A∩B=ø y A∪B= Ω).

Nos piden entonces la probabilidad de ser chica. Aplicamos el teorema de la probabilidad total y obtenemos: P(Chica)=P(Chica|A)P(A)+P(Chica|B)P(B).

De los datos del ejercicio se obtiene P(Chico|A)=0.3 y P(Chico|B)=0.4 y , por tanto P(Chica|A)=1-P(Chico|A)=1-0.3=0.7 y P(Chica|B)=1-P(Chico|B)=1-0.4=0.6.

Luego sustituyendo los valores en la fórmula obtenemos: P(Chica) =0.7·0.9+0.6·0.1=0.69.

Ejercicios propuestos

"Realiza estos ejercicios"

Ejercicio 1

Una tienda de videojuegos ha hecho un estudio de su mercado obteniendo que el 40 por ciento de las ventas han sido de videojuegos de acción, un 25 por ciento de videojuegos de simulación y el resto de videojuegos de aventura. Se ha estimado además, que entre las personas que han comprado videojuegos de acción, el 25 por ciento eran mujeres, mientras que en el caso de los videojuegos de simulación, el 65 por ciento de las compras han correspondido a mujeres. En el caso de los videojuegos de aventuras el porcentaje de compras hechas por hombres ha triplicado al de mujeres. La empresa decide elegir un cliente al azar para una campaña de publicidad. Calcula la probabilidad de que sea una mujer.



Ejercicio 2

Una pequeña empresa desarrolladora de videojuegos opera con tres grandes regiones de un país: X, Y, Z. El 50% de las operaciones las realiza en la región X, el 40% en la región Y, mientras que sólo un 10% de las operaciones las realiza en la región Z. Se ha estimado, por la larga experiencia, que el tanto por ciento de clientes de la región X que efectúan siempre el pago de los pedidos es del 99%, mientras que en la región Y es del 98% y en la región Z del 92%. Si se elige un cliente al azar, calcula la probabilidad de que sea moroso.



Aplicaciones

"Comprueba tus resultados con la calculadora de la probabilidad total"

Descripción Ai Descripción B P(B|Ai) P(Ai)
1
2



P(B)==




Acerca de

"Este trabajo ha sido realizado en el contexto de la asignatura Estadística de Ingeniería Multimedia de la Universidad de Alicante para ayudar a entender algunos conceptos básicos relacionados con la Estadística y practicar sobre ellos. Puedes ver más actividades y recursos sobre el tema 4 en el blog de la asignatura y también en el Campus Virtual si eres estudiante de esta asignatura"